当孔乙己说回字有四样写法的时候,相信各位都是这样的表情吧?
但是,如果孔乙己说NumPy数组有四种乘法的时候,各位大约就是这样的表情了吧?
实际上,NumPy数组乘法远不止四种。为了在写作和阅读时保持清晰的逻辑和清醒的头脑,本文仅对四种最常见的数组乘法给出详细说明,并用一道数学题来演示向量点乘和叉乘的用法。
1. 星乘(*)
先声明一下:星乘这个说法,是我自己创造的,因为我实在不知道数组的这种乘法有没有其他高大上的名字,只好用运算符来表示了。所谓数组星乘,就是数组的对应元素相乘,这也是初学NumPy的同学最早接触到的数组乘法。
> import numpy as np > a = np.array([1,2,3]) > b = np.array([4,5,6]) > a*b array([ 4, 10, 18])
对于多维数组,星乘的规则也是一样。
> a = np.arange(6).reshape((2,3)) > b = np.arange(6,12).reshape((2,3)) > a array([[0, 1, 2], [3, 4, 5]]) > b array([[ 6, 7, 8], [ 9, 10, 11]]) > a*b array([[ 0, 7, 16], [27, 40, 55]])
即使两个数组的shape不一样,只要满足特定条件,同样可以用星号相乘,且满足交换律。
> a = np.arange(6).reshape((2,3)) > b = np.array([1,2,3]) > a array([[0, 1, 2], [3, 4, 5]]) > b array([1, 2, 3]) > a*b array([[ 0, 2, 6], [ 3, 8, 15]]) > b*a array([[ 0, 2, 6], [ 3, 8, 15]])
2. 点乘(np.dot)
在数学上,向量点乘就是两个向量的对应位相乘后求和,因此向量点乘得到的是标量。
向量点乘的几何意义是两个向量的模之积再乘以二者夹角的余弦值。这意味着,如果两个向量互相垂直,则其点积为零。反过来说,两个不为零的向量的点积等于零,则两个向量垂直。
numpy.dot()函数提供了点乘运算。对于一维数组,NumPy的点乘就是向量点乘,其结果是一个标量。对于多维数组,则需要满足一定条件才能实现点乘,且其结果不再是标量,而是一个多维数组。比如,NumPy的矩阵相乘,就是二维数组的点乘,参与点乘的第一个数组的列数必须等于第二个数组的行数。
> a = np.array([1,0,0]) > b = np.array([0,1,0]) > np.dot(a,b) # 向量a和向量b相互垂直,其点积为0 0 > a = np.arange(6).reshape((2,3)) > b = np.arange(6,18).reshape((3,4)) > np.dot(a,b) # 满足点乘条件 array([[ 38, 41, 44, 47], [128, 140, 152, 164]]) > np.dot(b,a) # 不满足点乘条件 Traceback (most recent call last): File "<pyshell#38>", line 1, in <module> np.dot(b,a) File "<__array_function__ internals>", line 6, in dot ValueError: shapes (3,4) and (2,3) not aligned: 4 (dim 1) != 2 (dim 0)
3. 叉乘(np.cross)
在百度和知乎上,有很多人说叉积就是外积,也有人提出不同意见。我在这里仅使用叉乘或叉积等确定无误的概念,以免误人子弟。在数学上,二维平面的向量叉乘,其结果是以两个向量为边的菱形的面积,三维空间的向量叉乘,其结果是仍然是一个向量,且垂直于相乘的两个向量,也就是参与相乘的两个向量决定的平面的法向量。nunpy.cross()函数可以实现向量(一维数组)叉乘,也可以实现二维或三维数组的叉乘。
> a = np.array([2,0]) > b = np.array([2,2]) > np.cross(a,b) # 平面向量叉乘,其结果是以两个向量为边的菱形的面积 array(4) > a = np.array([1,0,0]) > b = np.array([0,1,0]) > np.cross(a,b) # x轴叉乘y轴,得到z轴 array([0, 0, 1]) > np.cross(b,a) # 叉乘交换顺序,得到反向的法向量 array([ 0, 0, -1])
4. 外乘(np.outer)
这里的外乘,类似于星乘,并不是通用的概念,也是我自己编造的一个说法,来源于numpy.outer()函数。从字面看,outer()函数更像是求外积,但从实际效果看,更像是笛卡尔直积,因此我这里用了“外乘”而不是“外积”。那么,outer()函数究竟能作什么呢?
> a = np.array([1,2,3]) > b = np.array([4,5,6,7]) > np.outer(a,b) array([[ 4, 5, 6, 7], [ 8, 10, 12, 14], [12, 15, 18, 21]])
数组A外乘数组B,返回一个二维数组,这个二维数组的第i行是数组A的第i个元素星乘数组B。
5. 判断两条直线是否相交
假设abcd是欧氏空间中不重合的四个点,如何判断过点ab的直线和过点cd的直线是否相交?如果使用空间解析几何的方式来解决问题,对于一般程序员来说将是一个难题。不过,如果你熟悉NumPy,理解点积(np.dot)和叉积(np.cross)的话,解决这个问题就变得非常容易了。具体思路是这样的:
计算向量ab和向量cd的叉积,得到向量orth如果orth的每一个元素都是零,则表示直线ab平行于直线cd,二者不可能相交;否则,orth就同时垂直于向量ab和向量cd计算向量orth和向量ac的点积,得到标量dp如果dp为零,表示向量orth垂直于向量ac,此时直线ab和直线cd在同一个平面上,且一定相交于某点
以上思路写成代码如下。
> a = np.array([1,2,3]) > b = np.array([4,5,6,7]) > np.outer(a,b) array([[ 4, 5, 6, 7], [ 8, 10, 12, 14], [12, 15, 18, 21]])
NumPy数组乘法
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